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对于研究李群的李代数最神奇的场地在于，尽管前者是李群中某少许上的标的导数空间，但这些导数险些界说了统共这个词群体。

这也意味着统共这个词李群偏激群体行为，在咱们将要探索的预料上，十足由其在恒等元隔邻落拓小的邻域内的群体行为界说。

在李群中，咱们确切不错在一粒沙子中看到一个寰球！

广义实流形

李群亦然一个流形，即它在局部上访佛于欧几里得空间，这意味着其点不错通过参数方程逐块地绘图，这些方程将-维实数空间中包含原点的开集映射到其点的开邻域。这些逐块映射被称为图表（charts），而李群不错通过一个图集（atlas）来绘图，即这些图表的都集。

在大巨额流形中，某少许的切空间仅仅阿谁点：最好线性靠拢该流形的超平面空间，这个空间在数学上与维实数空间（ 维欧几里得空间）同构。东谈主们生机它在一般情况下对隔离该点的流形行为影响有限。而经常情况下确乎如斯。唯有它们偏激切空间沿限制兼容，就不错将落拓有界可微流形粘合在一谈，即最初，限制具有“疏导局势”，即等距映射将一个的限制映射到另一个的限制，并反之亦然；其次，归拢个等距映射也对两个流形沿限制的切空间作念相似的映射。

这是在职意多维上界说实值函数的一种施行，这些函数是沿着不同的实数区间逐块界说的，其并集是统共这个词实数线。这种组合有可能在统共这些点的限制处可微，导数联络，但高阶导数联络。举例，推敲底下逐块界说的函数：

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在摆布双方，跟着

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一阶导数趋近于0。当x从负标的（左边）接近零时，导数为0；当x从正标的（右边）接近零时，导数为2x，因此一阶导数是联络的。关联词，二阶导数在左边趋近于0，在右边趋近于2。它是不联络的。

对于实变量的实函数和实流形来说，情况以至更糟。推敲以下情况：

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这是一个光滑函数，即其统共阶的导数都是联络的。为了说明注解这少许，归纳说明注解第n阶导数的局势是：

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其中P(x)是一个多项式，是以P(x) x^(-2n)是一个在x=0处有2n阶顶点的有理函数，因此第n阶导数从摆布双方都趋近于0。

但即使统共导数都存在，任何包含x=0的开区间内都莫得灵验的泰勒级数。对于实变量的实函数来说，即使是光滑函数也可能是病态的。更通用的例子是过渡或“凸起”函数，

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以及任何具有紧支集的光滑函数（即无穷可微的函数，其非零集是紧的）。这些函数都莫得灵验的泰勒级数。

复数和李群

复变函数的情况与实变函数截然有异。要是这么的函数在一个点的落拓小邻域内有一阶导数，那么该邻域内每个点的统共导数都存在，何况，这些导数在该点界说了一个管理的泰勒级数，灵验（管理至函数）于以该点为中心的任何圆盘，唯有圆盘不包含函数的奇点。即管理半径是从该点到最近奇点的距离。

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李群的情况也访佛，但放置更为强大。李群亦然一个认知流形（analytic manifold），不仅在局部像-维实数空间那样。这个邻域中的群积由一个函数界说

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它将点对映射到邻域中的“积”点，这个函数在邻域内有一个灵验、管理的泰勒级数。

二十世纪数学中最令东谈主难以置信且紧要的后果之一是，任何群要是其乘积运算在各处都仅需联络（即为拓扑群），同期又是一个流形（在局部像欧几里得空间ℝᴺ），那么这个群必定是一个李群。仅从联络的群乘积中就能界说切空间和导数，何况群乘积在每个场地都是由相应的局部泰勒级数界说的。这个放置，历久以来被大卫·希尔伯特所怀疑，最终由Andrew Gleason、Deane Montgomery和Leo Zippin在1952年发现。

这终于惩办了希尔伯特的第五问题：

一个局部欧几里得联络群是否势必是一个李群？换句话说，一个拓扑群要是在局部像欧几里得空间，其群运算是联络的，那么这个群是否一定不错被赋予一个光滑的流形结构，使得群运算不仅是联络的，如故光滑的（可微的）？

换句话说，莫得联络群不是李群，除了一些高度病态的例子。东谈主们必须作念一个“无小子群（no small subgroups）”假定——总有一个恒等元的邻域不包含任何非庸碌子群。换言之，恒等元的每个邻域必须至少包含一个元素z，界说了一个“转义序列”z， z²，新闻资讯 z³， 招聘人才 z⁴， 招聘人才 … 最终摧毁该邻域。

这一气候的关键被称为群的同质性（group homogeneity），李群从其动作拓扑群的性质中给与了这少许。

因此，群乘积在李群的每个点周围复制了恒等元周围的统共结构。每个邻域都是恒等元邻域的同胚，确乎是微分同胚的映射。

通过构建李群中的一参数子群，最终界说了导数。这些是通过李群界说的实数线的同构像旅途：

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何况它们必须老是通过群恒等元（为什么？）在零点0（即f(0)=id）。因此f是实数的指数函数。逆像是一个“对数”映射，将单参数群映射到实数线，何况恒等元的对数老是零点。不错通过迭代开方表率为任何李群成员∈构建一参数子群，团结恒等元来界说上述局势的函数，使得f(1)=在区间[0，1]的密集子集上，然后通过群乘积在统共这个词ℝ的密集子集上。也等于说，咱们不错界说ʳ，其中r是0和1之间有限二进制伸开的任何有理实数，通过有限的迭代开方的乘积。然后，联络性假定标明，单参数群必须是联络旅途。

因此，每个李群∈的成员在恒等元的相宜小邻域内界说了一个指数函数和一个“对数”X=log()，其中exp(X)=，因为咱们依然找到了exp(sX)=ˢ的预料。

这种迭代开方的想法由Henry Briggs在1620年用来策动他版块的“Napier’s Bones”的刻度，并策动他的对数表。

值得属主义是，1930年代，这一想法再次被Johannes von Neumann和Barteels van der Waerden收受，通过使用纯代数的单参数子群办法来构建通过李群的单参数群旅途，动作惩办希尔伯特第五问题的惊东谈主步履，即要是一个拓扑群在局部是欧几里得的（即要是群乘法是联络的），那么令东谈主难以置信的是，它亦然无穷可微的。

由于李群在局部像欧几里得空间，这些单参数群是通过ℝᴺ的联络旅途。在惩办希尔伯特第五问题的关键且相配非庸碌的步履是说明注解这些联络旅途不错用来界说微分的办法，而这种办法使得旅途实际上是通过ℝᴺ的认知旅途。因此，企业文化联络性假定自动产生了切空间的办法。李群的恒等元的切空间是其李代数，群动作黎曼流形与其李代数之间的指数和对数映射就像咱们上头界说的那样。

要研究这些行为，请属目，去掉0的复平面（即0被移除）连同乘法一谈组成了一个阿贝尔李群，其李代数是统共这个词复平面。动作一个实李代数，它是二维的，李代数基元素是i和1。

在李代数中探索预料

因此，咱们对指数函数和对数函数有了一个广义的办法，它们在处理的单参数子群时的行为与咱们老练的在ℝ上的函数十足疏导。但非常地，单参数子群老是可交换的——乘积的限定并不进击——事实上产品介绍，它要么是ℝ的同构副本，要么是一个圆。对数函数将李群中团结恒等元的成员映射到李代数中0的邻域；指数函数则作念相背的职责，因此用ℝᴺ中0的邻域的笛卡尔坐标绘图了李群的邻域。

李代数，就像任何流形的切空间一样，老是在一个域（经常是实数）上的向量空间，是以了解向量和对应的内容是很兴味的。单参数子群是李代数中直线射线的映像。由于李代数的成员老是代表在群恒等元处C¹旅途的切线（标的导数），底下这组彰着是通过恒等元的C¹旅途偏激在李群恒等元处的切线：

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使用极限而不是导数来抒发归拢事物的另一种神志是Trotter乘积公式：

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这等于李代数中向量和的预料。

综合的李代数也在李括号或李积运算下阻塞，即这种运算是双线性的、反对称的并骄慢雅可比恒等式。

在李群中，其李括号不错通过几种神志界说。最初，“从基欢喜趣”起程，通过一组在恒等元处的切线来推敲。咱们推敲以下由参数s界说的旅途族偏激在恒等元处的切线：

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由于李代数是一个向量空间，上述操作从一个切线Y运行并将其颐养为Ad(exp(sX))Y赫然是线性的，咱们不错将运算符Ad(exp(sX))暗示为一个矩阵。不难说明注解

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即Ad:➝GL(N，ℝ)是从李群到N×N实元素非奇异矩阵的一般线性（矩阵）群的同态。

矩阵群是李群，因为矩阵版块的指数和对数函数由它们在恒等元隔邻的经常泰勒级数界说，而s↦Ad(exp(sX))界说了通过矩阵李群的C¹（实际上是认知的）旅途。然后，矩阵李群中恒等元的切线即是Ad的映像，从而界说了原始李群中的李括号：

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底部的终末一个论说被称为编织恒等式（Braiding Identity）。

ad(X) Y被称为“由X对Y的小a陪同”巧合写稿：

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而Ad当然地被称为“大A陪同”。

要是你比我更灵敏，你可能依然属目到上述方程式中一个看似彰着的不一致或作假。非常是，我写下了访佛Y⁻¹的东西，而我莫得界说李群和李代数成员之间的任何乘积。而且，确乎，“乘积”意味着许多事情。

为了赋予Y⁻¹预料，咱们从一个由函数 () ⁻¹界说的旅途运行，其中: ℝ➝界说了另一个通过李群的C¹旅途，使得(0)=id，何况，d/d(())，那处的切线，是李代数成员Y。然后 () ⁻¹亦然通过李群的C¹旅途，何况赫然 (0) ⁻¹=id。后者旅途在那处有一个切线，是作用在Y上的某个线性算子Ad() Y。咱们将 Y⁻¹写为由旅途共轭操作()↦ () ⁻¹界说的旅途的切线的简写。

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在矩阵李群中，不难发现ad(X) Y=[X， Y]=XY — YX，即李括号仅仅矩阵的交换子。

编织公式 Ad(exp(s X)) = exp(s ad(X)) 允许咱们将 Ad(exp(s X)) Y 暗示为 X 对 Y 的相通李括号的遍及管理级数。

还有更多。笔据上述界说，雅可比恒等式不外是以下声明：

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左边的李括号是李代数 中的李括号。右边的李括号是作用于李代数 的线性算子的李括号，右边的李括号来自于算子复合乘积。竣工写出来的上述声明是：

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ad(X) 历久是李代数的同态，即它对于李括号以及和。

雅可比恒等式的第二个真切直观需要一些颠倒的标记来说明。GL(N，ℝ)中在Ad下的像的子集是什么？它有一个特殊的标志和称呼。的一个内自同构是以下局势的映射：

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咱们将的统共内自同构的都集暗示为 Inn()。不难考据 确乎是一个同构。然后 Ad() 是在 的恒等元处 的导数，因此 Ad() 是李代数的一个内自同构：

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不难考据李代数的内自同构确乎对于李括号。此外，Inn() 是一个李群；正如咱们所见，它是一个矩阵李群。

趁便一提，不错通过第二个 Trotter 乘积公式给出李括号的另一个界说：

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当今回到雅可比恒等式的另一个真切直观。它标明李括号是一个导数，即它骄慢与普通导数疏导的莱布尼兹乘积端正，这并不奇怪，因为李群的李代数的成员最终是标的导数。比拟以下的操作符 ad(X) 和 d/dx：

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属目运算 ad(X) “莱布尼兹分派”在李括号上的神志与操作符 d/dx “莱布尼兹分派”在普通乘积上的神志十足疏导。实际上，李代数的另一个含义是李群上统共导数的都集。

那么，李群 Inn() 的李代数 Lie(Inn()) 是什么呢？它恰是李代数 上导数的都集 Der()，这又是统共局势为 ad(X) 的小a陪同算子的都集！

终末，咱们想知谈李群 与其在 GL(N，ℝ) 中的矩阵李群像之间的同态映射有多“同构”。咱们通过找出同态的核来作念到这少许，即哪些元素被 big A Ad:➝Inn() 映射到恒等元。不难显现这么的元素是群 的中心 ()，即统共与 的每个元素都交换的平淡的阿贝尔李子群：

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ad:➝Der() 映射的相应核是统共与 的每个元素的李括号为零的元素的中心 ()：

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请仔细想考上头的几段话；即使你花几天时辰来招揽它们：我保证它们为你相识李群与其李代数之间的相关提供了坚实的基础。

李群偏激李代数之间有许多强大且直不雅的代数预料。正如咱们上头所看到的，这确乎是相配奇妙且秀美的。因此，让咱们归来一下上述几点，并用几个交换图来暗示。

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符“Lie”意味着找到“李代数”。是从到其内自同构的当然投影，与除以其中心()疏导。在图的右侧，它是从到对的导数的当然投影，与对于李括号的投影到以()为商的向量子空间疏导。

推敲李群中心时有一定的商定。经常东谈主们指的是联络中心，这是一个阿贝尔李子群，领有非庸碌的李代数。因此，举例，SU(2) 被称为一个简便的李群，因为它莫得联络中心，其李代数成员都具有非庸碌的换位相关。关联词，有一个与恒等元壅塞的摧毁中心，即由对角矩阵 diag(-1， -1)= - 1 给出的元素，它与统共元故旧换。因此，从严格的非李群表面预料上说，它并不简便。然则，正规子群是摧毁的，莫得李代数，因此有稍稍不同的商定。

事实上，李群的任何摧毁正规子群势必包含在摧毁中心中，这是Otto Schreier在1925年发现的放置。摧毁中心与李群的基本群密切有关：SO(3) 莫得摧毁中心，实际上它的中心是庸碌群 {id}。它的普域粉饰 SU(2) 有一个摧毁的中心群 {id，-1}≅ℤ₂。事实上，一个群的摧毁中心与其基本群同构是一个进击放置。

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